指を折って数える数は自然数です。一方、分数や小数、無理数、虚数などは人工数です。人工数に比べて自然数は単純な数のようにも思えますが、実はとても興味深い数なのです。
2月22日に行われたセミナーでは、ほんの一部ではありますが、自然数の楽しい世界を旅することができました。
まず自然数を順に足しますと、きれいな数列になります。 1+2=3
4+5+6=7+8
9+10+11+12=13+14+15
自然数のうち小さい順に1と2と3の三つを使った二桁の数、12,13,21,23,31,32の六種類を足してみます。
12+13+21+23+31+32=132
和も1と2と3を使った三桁の数になりました。このような特別な関係にある1と2と3は「遺伝子数」です。
1、2、3の次の自然数4を使いますと、様々な自然数が表せます。 4÷4+4−4=1
4÷4+4÷4=2
(4+4+4)÷4=3 このような数式を「四つの四」と呼びます。
次に6の約数は、1と2と3と6の四つあります。 1+2+3=6
約数を足していきますと、一番大きな約数、つまりもとの数になっています。6以外では28でも成り立ちます。
1+2+4+7+14=28
6や28など、約数全てを使って数式をつくることができる数が「完全数」です。
220の約数を足していくとどうなるでしょう。 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
では、284の約数を足してみましょう。 1+2+4+71+142=220
約数を1から順に足して互いの数になる関係は、「友愛数」とか「親和数」と呼ばれています。
48の約数を、1を除いて足します。 2+3+4+6+8+12+16+24=75
この75の約数も、1を除いて足します。 3+5+15+25=48 48と75は、1以外の約数の和がそれぞれの数になっています。このような関係は「婚約数」です。
1と2と3を、二つか三つずつ使って式をつくってみます。
1×1×2×2×3×3=36
1×1×1+2×2×2+3×3×3=36
(1+2+3)×(1+2+3)=36
(1×2×3)×(1×2×3)=36
いずれも36になりました。この36は、1から8までの自然数の和でもあり、1から11までの奇数の和でもあります。
1+2+3+4+5+6+7+8=36
1+3+5+7+8+11=36
この36は「聖なる数」と呼ばれています。
1から聖なる数36まで足します。 1+2+3+4+………+34+35+36=666
素数を二乗し、順に2から17まで足します。 22+32+52+72+112+132+172=666
1から9までの数を使って足します。 1+2+3+4+567+89=666
123+456+78+9=666
9+87+6+543+21=666
いずれも666になりました。
一年には春、夏、秋、冬の四季があります。それぞれの季節が十三週として、うるうの1日を足します。
4×7×13+1=365
一年の365日になりました。
トランプには、クローバー、スペード、ダイヤ、ハートの四種類があり、それぞれ1から13まであります。さらに、ジョーカーを一枚付け加えます。
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)×4+1=365
一月と偶数月を、二乗して足します。 12+22+42+62+82+102+122=365
十月、十一月、十二月を二乗して足します。 102+112+122=365
この365は「神の数」と呼ばれています。
先の「四つの四」にならい、8を八回使って式をつくります。(8+8)×(8×8×8−8)÷8−8=1000
8+8+8+88+888=1000
(8888−888)÷8=1000
「八つの八」は1000でした。
1000の次の自然数1001もおもしろい数です。連続する素数の積ですし、1から6まで三つずつ使った和になっています。
7×11×13=1001
1×11+2×22+3×33+4×44+5×55+6×66=1001
また任意の三桁の数を並べた六桁の数を1001で割ると、もとの数になります。
@ 987
A 987987
B 987987÷1001=987
この1001は、『千一夜物語』にちなんで、「シェヘラザーデ数」と呼ばれています。
シェヘラザーデが物語を毎晩語り続けても尽きなかったように、自然数の話題も、素数、回文数、巡回数、レピュニット数…と尽きることはありません。英語の
thousand and one が「無数」を意味するように。